SONSUZLUK KAVRAMI
Sonsuzluk kavramı hemen hemen herkesin zaman zaman kafasını yorduğu oldukça basit gibi görünen ancak birazcık kurcalandığında yada hayal edilmeye çalışıldığında insanı çıldırtabilecek çapta,kavranması oldukça zor bir kavramdır.Bir çok ünlü bilim adamı sonsuzluk üzerinde çalışmalar yapmış varsayımlarda bulunmuşlar ancak sonsuzluğun net bir tarifini bulamamışlardır.Biz bu bölümde kendimizce sonsuzluk hakkında beyin jimnastiği yapmaya çalışacak hayatımızla oldukça ilintili olan bu kavramı belli hatlarda kavramaya çalışacağız.
Gelin hep beraber şöyle bir hesap yapalım;
Her saniye 1 atom saydığımız varsayalım.Bir günde 60x60x24=86400 tane atom,bir yılda ise 86400x365 tane atom saymış oluruz..Bir ömür boyunca devam edersek toplu iğne ucundaki atomları saymayı tamamlamış oluruz.Bir milyonuncu yıla geldiğimizde ise odamızdaki atomları ,bir trilyonuncu yılda ilçemizdeki atomları saydığımızı düşünelim.Bir katrilyon yıl sonra ise dünyadaki atomları saydık ve dünya ila güneş arasındaki binlerce dünyanın atomlarını binlerce katrilyon yılda tamamladık ve güneşe ulaştık.Bu şekilde samanyolu galaksisini geçtik karadelikler kuasarlar trilyonlarca yıldızları ve bunların arasındaki tüm atomlarını saydık.(Bu arada bir atomu bir saniyede saydığımızı unutmayalım).Tahmin edemeyeceğimiz çoklukta atom sayıp tahmin edemeyeceğimiz yıl sonra uzayda bir tur atıp(ki uzayı burada sonlu kabul ediyoruz) geri bulunduğumuz yere gelelim.Şimdi dünyanın yanına bir tane dünya daha koyalım hemen yanından yolculuğa aynı şekilde başlayalım.Bu şekilde trilyonlarca tur sonucunda bir güneş kalınlığında ucunu göremeyeceğimiz uzunlukta çapa sahip simit elde ettiğimizi düşnelim.Bu şekilde ikinci bir simit elde edelim üçüncüsü ve bu simitlerden bir kaç katrilyon adet elde ettiğimizde saydığımız atomların birleşerek oluşturduğu şekil sonsuzluk yanında en iyi ihtimalle samanyolu galaksisi ile tek bir atom tanesini karşılaştırmak gibi olacaktır ki bu bile yanlış bir ifadedir ,çünkü ileride göreceğimiz gibi bir sayı yada büyüklük ne denli büyük olursa olsun sonsuz yanında sıfır hükmünde olacaktır...
Yada Autocad programını açalım ve bir nesne çizelim.Ve zoomout yaparak nesneyi küçültelim.(3D de nesneden uzklaşıyoruz)Bu nesne ne kadar büyük olursa olsun zoomout yaparak küçültebiliyor yada nesneden uzaklaşabiliyoruz.Diyelim tüm kainatı autocad programına yükledik.(Just imagine)Ve sürekli zoomout yapıyoruz.Eğer kainatın bir büyüklüğü varsa çok sayıda zoomoutlar sonucu kainatı portakal hatta bir nokta büyüklüğüne zoomoutlayalım.Peki nereye vardık?Bir boşluktayız..Artık zoomoutlarımız hiçbir fayda vermez.( Staryy Night programında denendi)Artık bundan sonraki zoomlarınız karanlık bir boşlukta kürek çekmek olacaktır...
Fraktallar sayfası için tıklayınız..
Somut bir sonsuzluk örneğini herkes görmüştür.Aynı boyda iki aynayı birbirine bakacak şekilde koyduğumuzda içiçe sonsuza giden bir döngü elde ederiz.Burada paradoksları da somutlaştırmış oluyoruz.
Paradokslar sayfası için tıklayınız..
Sonsuz odalı otel
Sonsuz odalı bir otel düşünün ve bütün odaları dolu olsun.. Bu otele 5 kişi daha gelirse bunlar nasıl yerleştirilebilir?
n. odadaki müşteri n + 5 numaralı odaya nakledilerek ilk 5 oda boşaltılır.Ve müşteriler ilk 5 odaya yerleşirler..
............
Aradan zaman geçiyor. Ve otele bu sefer sonsuz kişiden oluşan bir kafile geliyor. Kafilenin sözcüsü herkes için birer oda istiyor. Fakat görevli "bütün odalar dolu" diyor. Ama durun bir düşüneyim demeyi de ihmal etmiyor.Sonra;
- "Herkes bulunduğu odanın numarasının 2 katı olan odaya geçsin" diyor.
Böylece tüm çift sayılı odalar dolu ve tüm tek sayılı odalar boş olur. Ve yeni gelenler de tek sayılı odalara geçerler..
..............
Aradan oldukça uzun bir zaman geçiyor.Bu sefer içerisinde sonsuz tane yolcu olan sonsuz tane otobüs geliyor.Acaba bunları da yerleştirebilir miyiz?
Cevap:Evet.
Ama nasıl?
Sonsuz Toplamlar
Aşağıdaki sonsuz toplam sonlu mu, yoksa sonsuz mudur?
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ...
Sonsuz tane sayıyı topladığımızda sonuç her zaman sonsuz bir sayı olmayabilir. Örneğin bu örnekte, sonsuz toplam sonlu bir sayıdır. Hangi sayı olduğunu birazdan söyleyeceğim.
Sonsuz toplamı bulmadan önce sonlu toplamları bulalım.
1/12 = 1
1/12 + 1/22 = 1.25
1/12 + 1/22 + 1/32 = 1.361111...
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 = 1.423611...
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 = 1.463611...
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 = 1.491389...
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 = 1.511797...
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 = 1.527422...
1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 + 1/92 = 1.539768...
Bilgisayarıma sonlu toplamları biraz daha hızlı hesaplattırdım:
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/1002 = 1,634984...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/2002 = 1,639947...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/3002 = 1,641606...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/10002 = 1,643935...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/20002 = 1,644432...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/30002 = 1,644595...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/40002 = 1,644714...
1/12 + 1/22 + 1/32 +...+ 1/50002 = 1,644725...
Sonlu toplamlar hâlâ daha durmadan büyüyorlar. Bundan daha doğal bir şey olamaz, çünkü hep pozitif sayıları topluyoruz. Bu sayıların 1,7’ye sanki hiç varamayacaklar gibi bir izlenim elde ettiniz mi?
Ettiyseniz haklısınız. Çünkü bu sayılar sonsuzda 
’ya, 1,644934067277794... sayısına eşit olurlar.
Bir başka deyişle,
1/12 + 1/22 + 1/32 + … =
eşitliği geçerlidir. Bunu, büyük matematikçi Euler kanıtlamıştır.
Peki
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...sonsuz toplamının sonucu kaçtır?
devam edecek...
