Asal Sayılar(Prime Numbers)
Matematiğin en güzel ve önemli
alanlarından biri de sayılar teorisidir;
sayıları ve özelliklerini inceler. Her
ne kadar matematikciler insanların
sayabildiği dönemlerden bu yana
sayılarla uğraşıyor olsalarda, sayılar
teorisi alanı demode olmaktan çok
uzaktır; bugünkü en önemli ve ilginç
problemlerden bazıları bu alanla
ilgilidir. Özellikle asal sayılar büyük
ilgi merkezidir.
Tanım: Sadece 1 ve kendine
bölünebilen pozitif tamsayıya asal sayı
denir.
1 den büyük asal olmayan sayılara
bileşik sayılar denir.
Örneğin, 2,3 ve 5
asal sayılar ama 6 bileşik sayıdır.
Tüm pozitif tamsayılar en az bir tane
asal bölene sahiptir. Sayı asal ise asal
böleni kendisidir. Bileşik ise asal
çarpanlarına ayırarak bulunur: 6=3*2,
18=3*3*2, 48=6*8=2*3*2*2*2
En küçük asal sayı;2
Yalnızca bir tane çift asal sayı vardır:2
Ardışık iki asal sayı;2,3
Burada bir noktaya değinmek istiyorum;Genelde öğrenciler soruyor "1 neden asal sayı değil?" yada örneğin "-2 neden asal sayı değil?" gibi.Unutmamamız gereken bir şey var ki o da asal sayıları "bizim tanımladığımız"dır.Yani tanımı biz yaptıktan sonra asal sayıları tartışıyoruz.Birisi çıksa ve şöyle bir tanım yapsa;"-5 ten küçük ve kendisinden ve 1 den başka böleni olmayan tamsayılar" ki yapabilir o sayılara da bir ad verse kimsenin bir şey söylemeye hakkı olmaz.(Ancak o sayılar masal olarak kalabilir)
İlk 50 sayı arasındaki asal sayılar;
Teorem (Euclid teoremi) :" Sonsuz tane
asal sayı vardır."
Asal sayıların sonsuz oluşu olmayana ergi yöntemiyle kolayca ispatlanabilir.
şöyle ki:
"p'nin en büyük asal sayı olduğunu var sayalım. yani asal sayılar 2,3...p şeklinde bitsin.
k de (2*3*5*7...*p)+1 olsun. görüldüğü gibi k sayısı 2,3,5... gibi sayıların hiç birine bölünemez, 1 kalanını verir. solayısıyla p den büyük k asal sayısı elde edilmiş olur.Bu döngü sonsuza kadar devam eder.. "
Asal sayılar nasıl bulunur :
Bu
hala matematikçilerin cevap bulmaya
çalıştıkları bir sorudur. En basit
yöntemlerden biri Eratosthenes
tarafından M.Ö. 3 yy da geliştirildi. 1
ile 64 arasındaki asal sayıları bulmak
istediğimizi farzedelim. Bu sayılardan
oluşan bir tablo yapın ve şu
şekilde devam edin. En küçük asal iki
olduğundan, 2 nin bütün katlarının
üzerlerini çiziniz. sonraki çizilmeyen
sayı 3 olduğundan 3 ü çember içine alıp
katlarının üzerlerini çizin. Sonraki 5
sayısı için de aynısını yapın ve böyle
devam edin. Sayılar çoğaldığında bu
işlem uzayacak ve nerede son bulacağını
bilmek gerekecektir. Bir teoreme göre,
bir sayının asallığını araştırmak için
en son, onun kareköküne en yakın asal
inecelense yetecektir. 64 ün karekökü 8
olduğundan 5 in katlarını silmek
yetecektir. Sonuçta kalan sayılar
(çizilmeyenler) aradığımız asal
sayılardır. Maalesef bu metod sayılar
büyüdükçe çok zaman gerektirmektedir. .
asal sayılar;
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017,....
Asal sayılar teorisi:
Matematikçiler asal sayılarla ilgili çok
teori geliştirmişlerdir. Burada
bazılarına değineceğiz…
Soru: Asal sayılar birbirlerinden ne
kadar uzaktırlar? Bazen sadece 2 tamsayı
(ikiz asal sayılar) : 41 ve 43 gibi. Çok
örneği olmakla birlikte, ikiz asal
sayıların sonsuz çoklukta olduğu
ispatlanamamıştır.
Genelde, asal sayılar büyüdükçe
aralıkları artmaktadır. Ne kadar arttığı
hususunda 1896 da Charles de la Vallee-Poussin
ve Jacques Hadamard Asal Sayı Teoremi
ile cevap aramışlardır: Pr(x), x ten
küçük asal sayıların sayısı olsun. Bu
durumda x sonsuz giderken, Pr(x) ile (x/ln(x))
oranı 1 e yaklaşmaktadır.
Bunun anlamı, n bir asal sayı ise, bir
sonraki asal sayı ile arasındaki uzaklık
yaklaşık olarak ln(n) dir.
Goldbach varsayımı:
Leonard Euler yazdığı bir mektupta
Christian Goldbach, 2 den büyük her
pozitif çift tamsayının iki asal sayının
toplamı olarak yazılabileceğini
söylemiştir. Bilgisayarlarla bu çok
büyük sayılara kadar doğrulanmasına
karşın ispatı henüz yapılamamıştır.
Goldbach’ın döneminden bu yana bu
varsayım, ‘güçlü’ Goldbach varsayımı
(kendi öne sürdüğü) ve ‘zayıf’ Goldbach
varsayımı - 7 den büyük her tek sayı üç
asal sayının toplamı olarak yazılabilir
- olarak ayrılmıştır.
Bilinen en büyük asal sayılar (2007 Ocak ayı için)
sıra sayı basamak yıl comment
1 2^32582657-1 9808358 G9 2006
2 2^30402457-1 9152052 G9 2005
3 2^25964951-1 7816230 G8 2005
4 2^24036583-1 7235733 G7 2004
5 2^20996011-1 6320430 G6 2003
6 2^13466917-1 4053946 G5 2001
Asal Sayı Hesaplama Programı (40 kb)
Bu program belirlediğiniz iki sayı arasındaki asal sayıları hesaplar ve programın sol kısmında bulunan kutuda gösterir. Ayrıca "hesaplama raporu" ile hesaplanan asal sayılar Not Defteri ile de görüntülenir. Programın görüntüsü aşağıdaki gibidir:
Programı yükle Y
ÜKLE
